1 引言

非线性大气动力学一个重要的方向是大气运动平衡态及其稳定性、分岔和突变的研究，这类研究对于解释大气环流的某些现象提供了理论基础^[1-5]，比如：文献[6-9]研究了具有高低指数环流特征的多平衡态及阻塞形式，李麦村等^[10]研究了副热带2~3周的准周期低频振荡。

对于大气运动中的突变现象，叶笃正等^[11]首先提出了大气环流的积极性突变和副热带高压的季节性跳跃。李麦村等^[12]研究了西风带季节性突变的非线性机制。柳崇健等^[13]讨论了副高北跳的一般机制。缪锦海等^[14]用多平衡态的方法讨论了连续型热力强迫下的副高北跳。文献[15-20]通过遗传算法反演截断基函数的方法，讨论了经向热力强迫和纬向热力强迫对副高北跳的机制。

上述关于突变现象的研究，更多采用的是数值计算来讨论的，而未见其详细的定性分析。在缪锦海等^[14]一文中，主要采用计算平衡点和稳定性的方法来判断副高北跳的临界热力参数，这一方法计算量大，缺乏一定的理论支撑。由于突变的实质是分岔，分岔点的连续情况将决定着分岔点是否为突变点。因此，本文将应用分岔理论，获得准地转模式的分岔点。在此基础上，通过讨论分岔点的连续性来讨论副高北跳的机制，这一方法可以精确计算出副高北跳的临界热力参数，最后，讨论了在不同热力条件下，不同类型副高北跳的机制。

2 准地转模式

对于准地转大尺度运动，有热力强迫作用的正压耗散系统的方程为：

(1)

其中，ψ为地转流函数；模式取β平面近似：β= 是地球自转角速度，φ₀是所考虑的正压通道的中心纬度；是Ekman层摩擦所引起的涡汇，D_E是Ekman层的标高，H为均质大气高度；为动量源(U, V)所引起的涡源，在斜压大气中，(U, V)可为由加热场引起的热成风，在本模式中可视为热力强迫作用；J为Jacobi算子，即，

将方程(1)无量纲化：令t=f^-1t′，(x, y)=L(x′, y′)，(ψ, ψ^*)=L²f₀(ψ′, ψ^*′)，代入方程(1)，去掉“′”，得到无量纲化的准地转涡度方程，

式中为地球半径，L是水平尺度，。

边界条件：在y=0，π处，垂直于边界的流动为零，即。在x方向是以2π为周期的周期变化。

在上述边界条件下，采用广义Galerkin方法，与Lorenz所做一样，取六个基函数：

则，

(2)

ψ^*也有类似的展开式。ψ_AF_A与ψ_CF_C表示纬向基本气流，它们不同的组合可以表示不同季节的东西风急流位置和强度。ψ_KF_K和ψ_LF_L表示纬向n波、经向1波的扰动，ψ_MF_M和ψ_NF_N表示纬向n波、经向2波的扰动。

由于基函数F_i(x, y)是Laplace算子∇²的诱导方程∇²ψ(x, y)=λψ(x, y)，所以经详细推导，可得以下的高截断谱模式方程：

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

其中的参数K、α₁、β₁、δ₁、ε、α₂、β₂、δ₂为常数，其具体含义见缪锦海等^[11]。参数ψ_A^*、ψ_K^*、ψ_L^*、ψ_C^*、ψ_M^*、ψ_N^*为热力强迫作用ψ^*在上述基函数下的投影，本文将考虑这些热力强迫参数对副热带高压北跳的影响。

3 模式突变点的确定

整个大气运动系统应该是一个连续系统，但副热带高压的北跳却具有较强的间断特征，这种特征可利用突变理论讨论。突变理论的根源在于分岔，为此本节将主要讨论准地转模式的高截断谱模式方程的分岔情况。

3.1 分岔点的确定

对于单参数系统，

(9)

其中，∈C^∞(Rⁿ)。由于实分岔点对应一个特征值为0的点，同时，分岔点仍然满足平衡态关系。从而，可知分岔点满足如下条件，

(10)

为Jacobi矩阵。上述联合方程为n+1个方程，n+1个变量，因而可以确定分岔的位置。

对于准地转模式而言，由于有六个热力强迫参数，将不易于分析讨论，为简明表示热力强迫作用随纬度、经度和季节的变化，令ψ_L^*=ψ_M^*=ψ_N^*=0，ψ_A^*和ψ_K^*看做常数。为此，在本文中，高截断谱模式方程可看成是关于ψ_C^*的单参数系统。设其平衡态。下面，将利用上述理论来确定准地转模式的分岔位置。由于高截断谱模式方程中有，

令，其中，

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

而的Jacobi矩阵为，

(17)

为此，要确定准地转模式的分岔位置，即求解方程，

(18)

表 1给出了一个计算实例：取并取ψ_A^*=0.15，ψ_L^*=ψ_M^*=ψ_N^*=0。对于ψ_K^*=0.25，计算出共十二个分岔解但其中八个根中ψ_C^*含虚数，与热力强迫作用矛盾。因此，共有四个实根(表 1)，分别记为

3.2 突变点的判别

在上一节，讨论了分岔位置，但分岔点并不一定是突变点。在分岔点处，系统有可能是关于参数是连续的，也有可能是间断的，而只有间断点才是分岔点，为此，在本节中将利用Stum定理来判别上述所得到的分岔点是否是突变点。

对于参数系统(9)，由，可得，

(19)

从而可得，

(20)

将作为变量，由Stum定理可知，其解具有如下形式，

(21)

由于det[J(x, α)]=0，要使有界，即在分岔点处，能连续依赖于α，必须满足，

(22)

其中，J为J中任一列被替代而得到的矩阵，显然，

(23)

是满足上式的一个特殊情况。

相反，对于det[J (x, α)]≠0的情形，由det[J (x, α)]=0，可知，

(24)

此即发生突变。为此，分岔点转变为突变点的地方，即为的地方，下面将通过求解来获取突变点，以此讨论不同的热源强迫对副高北跳的影响。

由上式，对于ψ_A^*=0.15, ψ_K^*=0.4，

(25)

设J_A为代替J中第1列的矩阵，J_K为代替J中第2列的矩阵，以此类推，得到矩阵J_A、J_K、J_L、J_C、J_M、J_N，并分别把代入其中，可得到以下结果：

det(J_A)=0，对于所有分岔点；

det(J_K)≠0，对于所有分岔点；

det(J_L)≠0，对于所有分岔点；

det(J_C)≠0，对于所有分岔点；

det(J_M)≠0，对于所有分岔点；

det(J_N)≠0，对于所有分岔点。

由此可知，均为突变点。

4 热力强迫对副高北跳的影响

如文献[11]中所述，ψ_A^*F_A表示南北方向1波不均匀加热。当ψ_A^*＞0时，表示低纬加热，高纬冷却；当ψ_A^*＜0时，表示低纬冷却，高纬加热。

ψ_C^*F_C表示南北方向的2波不均匀热力强迫。若ψ_C^*＞0，将使低纬加热，中纬变冷，与ψ_A^*F_A叠加起来，将增加中低纬度之间的加热梯度与温度梯度，加热中心偏南，类似于冬季太阳辐射加热场的特征；若ψ_C^*＜0时，低纬出现相对冷区，中纬度加热，与ψ_A^*F_A叠加，将类似太阳高度角较大的夏季太阳辐射加热场的特征。因此，当ψ_C^*从正值变到负值，可以粗略对应加热场从冬季进入夏季。反之，可以对应加热场从夏季进入冬季。为此，本文的热源参数主要以ψ_C^*为主。

由于ψ_AF_A与ψ_CF_C表示纬向基本气流，表示不同季节的东西风急流位置和强度，而ψ_KF_K、ψ_LF_L、ψ_KF_K和ψ_LF_L表示扰动，在副高北跳过程，其反映的主要是纬向基本气流的不连续性变化。在下面的讨论中，主要考虑代表纬向气流的ψ_AF_A和ψ_CF_C。同时，通过方程(7)，可以直接求出关于ψ_A的平衡态解，其解只与ψ_A^*有关，不受ψ_C^*影响。为此，主要讨论热源强迫参数ψ_C^*对代表纬向气流的平衡解ψ_C的影响。

4.1 临界热力强迫参数的分析

为了讨论参数对平衡解的影响，将讨论以下的平衡态方程，

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

其参数的取值同上述一样，同样采用文献[1]中所采用的方法，将获得一个含ψ_C^*和ψ_C的九次隐函数方程。

(32)

其参数a_i(i=0, 1, 2, ……, 9)见文献[1]。

取ψ_K^*=0.25，通过隐函数作图法，在ψ_C^*∈[-0.3, 0.3]中，可获得如下的图形(图 1、图 2)。

从上述分析中，在平面(ψ_C^*, ψ_C)上，共有四个转向点，即，

τ₁=(0.093 587 126 63, 0.078 034 822 67),

τ₂=(-0.093 587 126 638, -0.078 034 822 67)

τ₃=(-0.035 535 129 73, 0.121 914 833 8),

τ₄=(0.035 535 129 73, -0.121 914 833 8)

此四个转向点与图形一致。

对应的临界热力参数ψ_C^*|_临界1=0.078 034 822 67，ψ_C^*|_临界2=-0.078 034 822 67，ψ_C^*|_临界3=-0.035 535 129 73，ψ_C^*|_临界4=0.035 535 129 73。

根据上述讨论，当ψ_C^*＜0时，代表的是夏季加热场；当ψ_C^*＜0时，代表的是冬季加热场。为此，下面将分冬季进入夏季和夏季进入冬季两种情况进行分析。为了分析方便，将考虑ψ_C关于ψ_C^*的微分。

由于相对难以计算，下面将通过以下方式计算：由于在A-G和C-E段为单调递减，有其余三段为单调递增，有而在ψ_C^*∈[-0.3, 0.3]，有由此可知，在A-G和C-E段，定常解不稳定，用虚线表示；在其余三段定常解稳定，用实线表示。

4.2 副高二次北跳的分析

综合上面的分析，下面将对副高二次北跳的情况做简单阐述。

(1) 冬季进入夏季的二次突变。

根据上面的分析，ψ_C^*为正值时对应的是冬季场，为此，讨论冬季进入夏季的二次突变情况，应当考虑ψ_C^*从正值变到负值的情况。当ψ_C^*从正无穷远处向零点连续变化过程中，在E点的右支曲线，平衡解状态随着参数ψ_C^*的变更连续的变化，此时对应的是冬季型平衡态，其热力强迫对流场的作用是连续的。ψ_C^*到达E点后，此时在E点的左支解状态不稳定，是不可到达的，因此，只要ψ_C^*稍微减少一些，则平衡解状态将跳至F点。此时对应的流场为初夏环流，西风带迅速北移，长江流域入梅。

当ψ_C^*继续减小，平衡态解状态连续变化直到G点，此时，平衡解状态将跳至H点，此时对应的流场为盛夏环流，西风带再次发生季节性北移，长江流域出梅。

(2) 夏季进入冬季的二次突变。

同时，讨论夏季进入冬季的二次突变情况，应当考虑ψ_C^*从负值变到正值的情况。当ψ_C^*从负无穷远处向零点连续变化过程中，在A点的左支曲线，平衡解状态随着参数ψ_C^*的变更连续的变化，此时对应的是夏季型平衡态，其热力强迫对流场的作用是连续的。ψ_C^*到达A点后，此时在A点的右支解状态不稳定，是不可到达的，因此，只要ψ_C^*稍微增大一些，则平衡解状态将跳至B。这类似于叶笃正等指出的大气环流的十月突变，此时副高迅速南移，西风带也随之南移，长江流域将出现所谓秋老虎现象。

当ψ_C^*继续增加，平衡态解状态连续变化直到C点，此时，平衡解状态将跳至D点，此时对应的流场为典型的冬季环流。

4.3 不同类型副高北跳的机制

从上图可以看出，出现不同类型的副高的不同北跳主要由转向点的位置决定的，从而，可以通过讨论临界参数的大小来判断不同类型副高北跳的机制。为了简单，将设ψ_A^*=0.1，ψ_L^*=ψ_M^*=ψ_N^*=0，只考虑ψ_K^*对临界参数的影响(图 3)。

对于一次北跳和二次北跳的判别条件，有

通过计算，可得：当|ψ_K^*|=0.279 3时，

而当|ψ_K^*|减小到0.075 8时，将没有实的分岔解。

由于ψ_C^*关于ψ_C的函数f是奇函数，为此，只需考虑ψ_C＞0的情况。经过计算，在ψ_C∈(-0.3, 0.3)范围，ψ_C^*|_临界1关于|ψ_K^*|是单调递增的，ψ_C^*|_临界3关于|ψ_K^*|是单调递减的。可知上述关于临界点相等的值是唯一的(图 4)。

由上面的讨论，可以得到如下的结论(ψ_C∈(-0.3, 0.3))。

(1) 当|ψ_K^*|＜0.075 8时，没有实的分岔解，ψ_C关于ψ_C^*是连续的，此时系统是稳定的，从而不发生季节性的突变。也就意味着当在纬向2波加热差异和经向1波加热差异较弱的条件下，没有副高北跳现象发生。

(2) 当0.075 8＜|ψ_K^*|＜0.279 3，ψ_C^*将会出现四个相异的实分岔解，而且这四个实分岔解全部是转向点，从而，将发生冬季到夏季的副高二次北跳和夏季到冬季的副高二次北跳。当然，随着|ψ_K^*|的不断减小，ψ_C在间断点的跳跃值将减小，从而二次突变的程度将减弱。当|ψ_K^*|较小时，在东亚大气环流场上，对应的，此时虽然可以看到二次突变，但是由于副高脊线在入梅时基本是渐近的过程，北跳不明显，只是在出梅时有一次弱北跳，雨带不集中在长江流域，梅雨不明显。

(3) 当|ψ_K^*|＞0.279 3时，ψ_C^*将会出现两组相同的实分岔解，而且这两组实分岔解全部是转向点，从而，将发生冬季到夏季的副高-次北跳和夏季到冬季的副高一次北跳。当然，随着|ψ_K^*|的不断增大，ψ_C在间断点的跳跃值将增大，从而一次突变的程度将增强。当|ψ_K^*|较大时，在东亚大气环流场上，对应的，副高不在长江流域停滞而直接跳跃到黄河流域的空梅情况(图 5)。

5 结语

通过分岔理论，讨论在取ψ_A^*=0.15，ψ_L^*=ψ_M^*=ψ_N^*=0条件下，ψ_K^*和ψ_C^*对副高北跳的影响。在ψ_K^*值固定的情况下，可以准确求得副高北跳的临界热力参数值。在此基础上，通过对临界热力参数的分析，得到了对于一次北跳和二次北跳的判别条件。通过计算，可以得出如下结果：在一定范围内，当|ψ_K^*|＜0.075 8时，没有副高北跳现象发生；当|ψ_K^*|＞0.279 3时，将出现副高不在长江流域停滞而直接跳跃到黄河流域的空梅情况；当0.075 8＜|ψ_K^*|＜0.279 3，将会出现副高的二次北跳现象，但在其绝对值较小时，入梅时的北跳并不明显，只是在出梅时有一次弱北跳，此时，雨带不集中在长江流域，梅雨不明显。

所应用的方法对于准确判断突变点及副高类型提供了理论支撑，减少了分析的计算量，这种方法可以推广到更复杂的单参数系统中。但是，由于所采用的是截断模式，是准地转模式的有限维近似，有待于将该方法应用于准地转模式甚至是大气原始方程的研究。