1 引言

假相当位温是很重要的气象物理量，在天气诊断分析、特别是强对流和冰雹预报中发挥重要作用^[1-6]。为满足气象部门的需求，陈创买等^[7-13]先后对这个物理量进行了深入研究，其实质是引入罗斯贝^[14-16](Rossby)、辛普森^[17](Simpson)和拉欣^[18] (Lasheen)的研究成果。罗斯贝考虑了水汽凝结潜热对位温的贡献，辛普森研究水质物比热的贡献。本文考虑这两项因素，严格按气块所经历的干绝热和湿绝热膨胀过程提出假相当位温的计算公式，填补了这之前仅有罗斯贝假相当位温的不足。本文的推出能解答文献[12]有关假相当位温的精确计算论文中存在的若干问题。

2 假相当位温的定义

按气象学和天气分析涵义，假相当位温可定义为：令初始状态是一个温度为T、气压为P、混合比为W的未饱和空气微团干绝热地上升，达到凝结高度后，再湿绝热上升，直到空气微团中所含水汽全部凝结出来，并令这些凝结物随即坠离空气微团，其所放出的凝结潜热和水质物比热用于加热空气微团；然后再让空气微团干绝热地下降到气压等于1 000 hPa高度时所具有的温度。本文将按上述物理过程推导假相当位温的计算公式。

3 位温

温度为T、气压为P、水汽压为E的空气微团，令其干空气部分回到P₀=1 000 hPa时所具有的温度，称为位温^[7]。

$ {\theta _d} = T{\left( {\frac{{{P_0}}}{{P - E\left( {{T_d}} \right)}}} \right)^{{K_d}}} $

(1)

其中${K_d} = {R_d}/{C_{pd}} $为干空气膨胀系数，R_d为干空气的气体常数，C_pd为其定压比热，T_d为绝对露点温度，E(T_d)为T_d时的饱和水汽压，对式(1)取对数微分：

$ \ln {\theta _d} = \ln T + \frac{{{R_d}}}{{{C_{pd}}}}\ln {P_0} - \frac{{{R_d}}}{{{C_{pd}}}}\ln \left[ {P - E\left( {{T_d}} \right)} \right] $

(2)

$ {\mathop{\rm d}\nolimits} \ln {\theta _d} = {\mathop{\rm d}\nolimits} \ln T - \frac{{{R_d}}}{{{C_{pd}}}}{\mathop{\rm d}\nolimits} \ln \left( {P - E\left( {{T_d}} \right)} \right) $

(3)

令

$ {P_d} = P - E\left( {{T_d}} \right) $

(4)

$ {\mathop{\rm d}\nolimits} \ln {P_d} = {\mathop{\rm d}\nolimits} \ln \left( {P - E\left( {{T_d}} \right)} \right) $

(5)

$ {\mathop{\rm d}\nolimits} \ln {\theta _d} = {\mathop{\rm d}\nolimits} \ln T - \frac{{{R_d}}}{{{C_{pd}}}}{\mathop{\rm d}\nolimits} \ln {P_d} $

(6)

$ {\mathop{\rm d}\nolimits} \ln {P_d} = \frac{{{C_{pd}}}}{{{R_d}}}\left[ {{\mathop{\rm d}\nolimits} \ln T - {\mathop{\rm d}\nolimits} \ln {\theta _d}} \right] $

(7)

4 抬升凝结高度上的温度T_c的计算公式

为求解空气微团干绝热抬升至凝结高度时达到的温度T_c，Lasheen^[18]给出了如下方程：

$ \ln \left( {\frac{{{T_c}}}{T}} \right) + \frac{{ \in L}}{{{C_{pd}}}}\left( {\frac{1}{{{T_d}}} - \frac{1}{{{T_c}}}} \right) = 0 $

(8)

式(8)中∈ =0.622为干空气与水汽密度的比值，C_pd为干空气的比热，T、T_d分别为起始点绝对温度及绝对露点温度，L为水汽凝结潜热，它随温度的升高而减小，别林斯基^[19]根据实验数据^[20-21]，提出一个经验公式，其形式可表示为，

$ L = L\left( {{T_d}} \right) = {L_0} - {C_L}{t_d} = {L_0} - {C_L}\left( {{T_d} - {T_0}} \right) $

(9)

式(9)中，T₀ = 273.16 K为0 ℃时的绝对温度，L₀为0 ℃时水汽的凝结潜热, C_L为水汽凝结潜热随温度的变化率，T_d、T₀、t_d三者的关系为T_d =T₀ + t_d。将式(9)代入式(8)可得：

$ \ln \left( {\frac{{{T_c}}}{T}} \right) + \frac{ \in }{{{C_{pd}}}}\left[ {{L_0} - {C_L}\left( {{T_d} - {T_0}} \right)} \right]\left( {\frac{1}{{{T_d}}} - \frac{1}{{{T_c}}}} \right) = 0 $

(10)

$ \ln \left( {\frac{{{T_c}}}{T}} \right) + \left[ {\left( {\frac{{ \in {L_0}}}{{{C_{pd}}}} + \frac{{ \in {C_L}{T_0}}}{{{C_{pd}}}}} \right)} \right]\left( {\frac{1}{{{T_d}}} - \frac{1}{{{T_c}}}} \right) - \frac{{ \in {C_L}{T_d}}}{{{C_{pd}}}}\left( {\frac{1}{{{T_d}}} - \frac{1}{{{T_c}}}} \right) = 0 $

(11)

$ \ln \left( {\frac{{{T_c}}}{T}} \right) + \left[ {\left( {\frac{{ \in {L_0}}}{{{C_{pd}}}} + \frac{{ \in {T_0}}}{{{C_{pd}}}}} \right)\frac{1}{{{T_d}}} - \frac{{ \in {C_L}}}{{{C_{pd}}}}} \right]\left( {1 - \frac{{{T_d}}}{{{T_c}}}} \right) = 0 $

(12)

取lnx的一级近似:$\ln x \approx x - 1, \left( {0 < x < 2} \right) $，令T_d /T_c =x, 则$\ln \left( {\frac{{{T_d}}}{{{T_c}}}} \right) \approx \frac{{{T_d}}}{{{T_c}}} - 1 $,

$ 1 - \frac{{{T_d}}}{{{T_c}}} = \ln \left( {\frac{{{T_c}}}{{{T_d}}}} \right) $

(13)

若取T_d = 283 K, T_c = 273 K, 则取这个近似的误差为er:

$ er = \left[ {\frac{{\ln x - \left( {x - 1} \right)}}{{\ln x}}} \right] \times 100\% = 1.82\% $

(14)

故可认为对lnx取一级近似对公式的推导影响很小。于是，

$ \ln \left( {\frac{{{T_c}}}{T}} \right) + \left[ {\left( {\frac{{ \in {L_0}}}{{{C_{pd}}}} + \frac{{ \in {T_0}}}{{{C_{pd}}}}} \right)\frac{1}{{{T_d}}} - \frac{{ \in {C_L}}}{{{C_{pd}}}}} \right]\ln \left( {\frac{{{T_d}}}{{{T_c}}}} \right) = 0 $

(15)

合并lnT_c项，则有，

$ \ln {T_c}\left\{ {1 + \left[ {\left( {\frac{{ \in {L_0}}}{{{C_{pd}}}} + \frac{{ \in {T_0}}}{{{C_{pd}}}}} \right)\frac{1}{{{T_d}}} - \frac{{ \in {C_L}}}{{{C_{pd}}}}} \right]} \right\} = \ln T + \left[ {\left( {\frac{{ \in {L_0}}}{{{C_{pd}}}} + \frac{{ \in {T_0}}}{{{C_{pd}}}}} \right)\frac{1}{{{T_d}}} - \frac{{ \in {C_L}}}{{{C_{pd}}}}} \right]\ln {T_d} $

(16)

令

$ B = \left[ {\left( {\frac{{ \in {L_0}}}{{{C_{pd}}}} + \frac{{ \in {T_0}}}{{{C_{pd}}}}} \right)\frac{1}{{{T_d}}} - \frac{{ \in {C_L}}}{{{C_{pd}}}}} \right] $

(17)

则有

$ {T_c} = {\mathop{\rm EXP}\nolimits} \left[ {\frac{{\ln T + B \cdot \ln {T_d}}}{{1 + B}}} \right] $

(18)

式(18)表明，T_c的计算与抬升凝结高度上的气压P_c无关，它给计算带来方便，这与Lasheen^[18]的超越方程结果完全不同。

5 抬升凝结高度上的气压P_c的计算公式

气块从气压为P、温度为T干绝热膨胀上升至气压为P_c、温度为T_c的凝结高度，P与T有如下关系^[7]：

$ \frac{P}{{{P_c}}} = {\left( {\frac{T}{{{T_c}}}} \right)^{{m_1}}} $

(19)

其中，

$ {m_1} = \frac{{{C_{pd}}}}{{{R_d}}}\left[ {\frac{{1 + {C_{pv}} \cdot w/{C_{pd}}}}{{1 + w/ \in }}} \right] $

(20)

C_pv为水汽的定压比热，w为水汽混合比。

$ w = \in \frac{{E\left( {{T_d}} \right)}}{{P - E\left( {{T_d}} \right)}} $

(21)

故有，

$ \ln P - \ln {P_c} = {m_1}\left( {\ln T - \ln {T_c}} \right) $

因此，抬升凝结高度上的气压的计算公式为，

$ {P_c} = P \cdot {\mathop{\rm EXP}\nolimits} \left[ {{m_1} \cdot \ln \left( {\frac{{{T_c}}}{T}} \right)} \right] $

(22)

由式（22）可见，抬升凝结高度上的气压P_c与其上的温度T_c有关。

6 饱和水汽压的计算公式

在假相当位温的计算中，频繁用到饱和水汽压的公式^[22-23]，此处使用文献[7]推导的半经验公式：

$ E\left( T \right) = {E_0} \cdot {\left( {\frac{{{T_0}}}{T}} \right)^{\frac{{{C_L}}}{{{R_w}}}}} \cdot {\mathop{\rm EXP}\nolimits} \left[ {\frac{{\left( {{L_0} + {C_L} \cdot {T_0}} \right)\left( {T - {T_0}} \right)}}{{{R_w}{T_0}T}}} \right] $

(23)

式中，E₀为0 ℃时的饱和水汽压，L₀为0 ℃时水汽凝结潜热，C_L为水汽凝结潜热随温度的变化率，R_w为水汽的气体常数。此公式在-50 ℃~40 ℃范围内的计算值与使用中的湿度查算表完全一致，并被董双林等^[22]列为可比较的饱和水汽压公式。

7 罗-辛假相当位温的计算公式

根据Iribarne等^[24]及Saunders^[25]的研究，辛普森提出了在罗斯贝假相当位温的基础上加入水质物比热的贡献，建立了一个假相当位温公式，本文将以此为根据，讨论和创建罗-辛假相当位温公式。

气块从抬升凝结高度开始作湿绝热膨胀上升时，其熵不变，可得如下方程：

$ \left( {{C_{pd}} + {C_w}w} \right){\mathop{\rm d}\nolimits} \ln T - {R_d}{\mathop{\rm d}\nolimits} \ln {P_d} + {\mathop{\rm d}\nolimits} \left( {\frac{{wL}}{T}} \right) = 0 $

(24)

C_pd为干空气的定压比热，R_d为干空气的气体常数，C_w为水的比热，w为水汽混合比。

$ w = \in \frac{{E\left( T \right)}}{{P - E\left( T \right)}} $

(25)

L为水汽凝结潜热，

$ L = L\left( {{T_d}} \right) = {L_0} - {C_L}\left( {{T_d} - {T_0}} \right) $

(26)

为了与干绝热过程相连接，将前述取对数微分的位温公式（7），代入式(24)替换P_d得,

$ {\mathop{\rm d}\nolimits} \ln {\theta _d} + {\mathop{\rm d}\nolimits} \left( {\frac{{wL}}{{{C_{pd}}T}}} \right) + \frac{{w{C_w}}}{{{C_{pd}}}}{\mathop{\rm d}\nolimits} \ln T = 0 $

(27)

对式(27)，从抬升凝结高度时气压和温度为(P_c, T_c)状态开始，作湿绝热膨胀上升，至水汽完全凝结的高度时气压和温度为(P_n, T_n)状态止进行积分，最后又按干绝热压缩下降回到1 000 hPa高度，有，

$ \int_{{\theta _d}}^{{\theta _{ses}}} {{\mathop{\rm d}\nolimits} \ln {\theta _d} + \int_{\left( {{P_c},{T_c}} \right)}^{\left( {{P_n},{T_n}} \right)} {{\mathop{\rm d}\nolimits} \left( {\frac{{wL}}{{{C_w}T}}} \right)} } + \frac{{{C_w}}}{{{C_{pd}}}}\int_{\left( {{P_c},{T_c}} \right)}^{\left( {{P_n},{T_n}} \right)} {\frac{w}{T}} {\mathop{\rm d}\nolimits} T = 0 $

(28)

$ \ln \left( {\frac{{{\theta _{ses}}}}{{{\theta _d}}}} \right) - \left( {\frac{{{w_c}{L_c}}}{{{C_w}{T_c}}}} \right) + \frac{{{C_w}}}{{{C_{pd}}}}\int_{\left( {{P_c},{T_c}} \right)}^{\left( {{P_n},{T_n}} \right)} {\frac{{w{\mathop{\rm d}\nolimits} T}}{T}} = 0 $

(29)

$ {\theta _{ses}} = {\theta _d}{\mathop{\rm EXP}\nolimits} \left( {\frac{{{w_c}{L_c}}}{{{C_w}{T_c}}}} \right) \cdot {\mathop{\rm EXP}\nolimits} \left[ {\frac{{{C_w}}}{{{C_{pd}}}}\int_{\left( {{P_c},{T_c}} \right)}^{\left( {{P_n},{T_n}} \right)} { - \frac{{w{\mathop{\rm d}\nolimits} T}}{T}} } \right] $

(30)

令，

$ {\theta _{se}} = {\theta _d}{\mathop{\rm EXP}\nolimits} \left( {\frac{{{w_c}{L_c}}}{{{C_w}{T_c}}}} \right) $

(31)

式（31）为罗斯贝假相当位温的计算公式，括号中的符号意义如前述，下标c表示抬升凝结高度上的值。于是式（30）可写成，

$ {\theta _{ses}} = {\theta _{se}} \cdot {\mathop{\rm EXP}\nolimits} \left[ {\frac{{{C_w}}}{{{C_{pd}}}}\int_{\left( {{P_c},{T_c}} \right)}^{\left( {{P_n},{T_n}} \right)} { - \frac{{w{\mathop{\rm d}\nolimits} T}}{T}} } \right] $

(32)

又令，

$ Rosb = {\mathop{\rm EXP}\nolimits} \left( {\frac{{{w_c}{L_c}}}{{{C_w}{T_c}}}} \right) $

(33)

及，

$ Simps = {\mathop{\rm EXP}\nolimits} \left[ {\frac{{{C_w}}}{{{C_{pd}}}}\int_{\left( {{P_c},{T_c}} \right)}^{\left( {{P_n},{T_n}} \right)} { - \frac{{w{\mathop{\rm d}\nolimits} T}}{T}} } \right] $

(34)

此处，称Rosb为罗斯贝水汽凝结潜热对位温的贡献指数, Simps为辛普森水质物比热对位温的贡献指数，于是，

$ {\theta _{ses}} = {\theta _d} \cdot Rosb \cdot Simps $

(35)

式(35)就是本文所要推出的罗斯贝-辛普森假相当位温的计算公式。其中，位温θ_d可用式（1）计算，Rosb项可用式(33)计算，Simps 项可用下文所述的近似积分法计算。就是说式(35)右端3项均可单独计算然后组合，因此θ_ses可被顺利计算出来。

从式(35)，罗-辛假相当位温是由干绝热位温、罗斯贝水汽凝结潜热贡献项和辛普森水质物比热贡献项所组成。为了方便分析，以下再计算若干变量，首先式（35）可表示为，

$ {\theta _{ses}} = {\theta _d} \cdot Simps \cdot Rosb $

(36)

式(31)也可用下式计算，

$ {\theta _{se}} = {\theta _d} \cdot Rosb $

(37)

辛普森假相当位温的计算公式为，

$ {\theta _{ss}} = {\theta _d} \cdot Simps $

(38)

这几乎是第1次起用这个名称。Simps项的贡献值为，

$ \Delta {\theta _{ss}} = {\theta _{ses}} - {\theta _{se}} = {\theta _{se}}\left( {Simps - 1} \right) $

(39)

Rosb项的贡献值为，

$ \Delta {\theta _{se}} = {\theta _{ses}} - {\theta _{ss}} = {\theta _{ss}}\left( {Rosb - 1} \right) $

(40)

Rosb项对位温的贡献值为，

$ \Delta {\theta _{pt}} = {\theta _{se}} - {\theta _d} = {\theta _d}\left( {Rosb - 1} \right) $

(41)

Simps项对位温的贡献值为

$ \Delta {\theta _{spt}} = {\theta _{ss}} - {\theta _d} = {\theta _d}\left( {Simps - 1} \right) $

(42)

干绝热位温θ_d可用式（1）计算。以上各项计算有助于了解3种假相当位温的数据变化及相互关系，在此还要重视位温在各种假相当位温中所作的贡献。

8 辛普森水质物比热贡献指数的计算

前述Simps贡献指数为式(34)，其中$w = \in E\left( T \right)/\left( {P - E\left( T \right)} \right) $，E(T)由式（23）计算，以下采用近似积分法计算式（34）方括号中的值。从（P_c, T_c）处往上求积。设t_n=-80 ℃，ΔT =1 ℃，则T_n = T₀ + t_n，而求积次数为$NS = \left( {{T_e} - {T_n}} \right)/\Delta T $; 又设P_n = 10.0 hPa，则求积的厚度为$\Delta P = \left( {{P_e} - {P_n}} \right)/NS $, 计算时以层底的值代替该ΔP层的平均值，则式（34）括号中的值为，

$ SUM = \sum\limits_{i = 0}^{NS - 1} {\frac{{{C_w}}}{{{C_{pd}}}}} \frac{{E\left( {{T_i}} \right)}}{{\left( {{P_i} - E\left( {{T_i}} \right)} \right)}}\frac{{\Delta T}}{{{T_i}}}, \left( {{T_i} = T - i \times \Delta T, {P_i} = P - i \times \Delta P} \right) $

(43)

SUM为正值，于是辛普森水质物比热贡献指数的值为，

$ Simps = {\mathop{\rm EXP}\nolimits} \left( {SUM} \right) $

(44)

至此近似积分计算过程结束。

9 罗-辛假相当位温的计算结果和分析

为了详细了解罗-辛假相当位温的数值变化特征，特意编制不同等压面上的罗-辛假相当位温、罗斯贝假相当位温、辛普森假相当位温，及罗斯贝项的贡献值、干绝热位温共5种数据表。

从表 1可见，罗-辛假相当位温，其数值可在-50.0~ + 216.2 ℃之间变化。同一等压面，它的数值随温度的升高而增大；对同一温度，其数值则随气压的升高而减小。

表 2的罗斯贝假相当位温就是通常气象学和天气学中所说的假相当位温。这里用摄氏温标(℃)表示，如果加上0 ℃时的绝对温度T₀即是文献[7]的查算表值。数据的变化范围为- 50.0~ -210.5 ℃，比表 1的值小，其变化规律则相同。

表 3中辛普森假相当位温的名称是跟据假相当位温的定义新起的。可见其数据范围为-50.0~-146.2 ℃，比罗斯贝假相当位温小，其变化规律则相同。

表 4数据变化范围0.10~-150.05 ℃，可见罗斯贝项对θ_ses的贡献，同一等压面上随温度的升高而增大，同一温度下随气压下降而升高。

表 5表明，位温是各种假相当位温的基本成分，认识这点对使用好θ_ses和θ_se是很重要的。

10 与文献[12]计算结果的比较分析

分析对比发现，文献[12]的假相当位温比本文的含水汽凝结潜热及水质物比热贡献的罗-辛假相当位温θ_ses (表 1)大，它比本文的罗斯贝假相当位温 θ_se(表 2)大更多，这是不正常的。研究表明，以上所述增大的原因可能来自文献[12]本身，最主要是该文计算没有真正遵循假相当位温发生所经历的干绝热和湿(假)绝热物理过程，计算公式推导不够严格所致。可指出在以下几个方面存在问题。用2个公式表示假相当位温(公式(1)和(2))，该二式仅含水汽凝结潜热因素，而公式(3)及以后诸公式均增加水质物比热因素；其次，公式(4)和(9)分别不满足积分中值定理条件及分部积分法的条件；第三，所列标准值公式(5)、准确表达式(8)及精确计算公式(14)概念十分模糊，与公式(1)和(2)明显不对应, 计算十分繁琐，没一个能被直接计算出来, 但却仍被描述为公式(1)和(2)的精确计算公式；第四，式(10)和(11)中设定T₀、L₀与E₀为0 ℃时的值，将导致式(12)不成立，及影响式(14)等；第五，对辛普森论文的评价不当，该论文具体解决了空气中水质物比热对假相当位温的贡献，而非误差大小，这种误判应是由第三点原因所致。以上分析表明，该文所称的“精确计算”，与实际结果相差较大。(注:本段所列公式编号均指文献[12]原文中公式及编号，具体请查阅文献[12])

11 结论

本文根据罗斯贝、辛普森、拉欣和桑德斯等人的理论研究，清晰地提出罗-辛假相当位温的计算公式，该公式由位温式、罗斯贝水汽凝结潜热贡献式和辛普森水质物比热贡献式三项组成，提出一个辛普森假相当位温的计算公式，它与罗-辛假相当位温及罗斯贝假相当位温三个公式并列，业务上后两者更实用。

位温是各种假相当位温的基本成分，值得假相当位温使用者重视。文中所述罗斯贝假相当位温θ_se就是通常气象学和天气学中的假相当位温。可将罗-辛假相当位温θ_ses编造出新查算表，供（特别是南方）气象工作者应用。对比分析发现，文献[12]结果大于本文(θ_ses、θ_se)的计算结果，其原因皆由于该文献的公式推导不够严格，导致精准度不够的缘故。

附：物理参数:

R_d = 287.04 J∙kg^-1∙K^-1，干空气的比气体常数。

R_w = 461.50 J∙kg^-1∙K^-1，水汽的比气体常数。

C_pd = 1 004.84 J∙kg^-1∙K^-1，干空气的定压比热。

E₀ = 6.1078 hPa，纯水面上0 ℃时饱和水汽压。

T₀ = 273.16 K, 水的三相点温度。

C_w = 4 186.83 J∙kg^-1∙K^-1，水的定压比热。

C_pv = 1 863.14 J∙kg^-1∙K^-1，水汽的定压比热。

C_L = 2 369.75 J∙kg^-1∙K^-1，水汽的凝结潜热随温度的变化率。

L₀ = 2 500 793.56 J∙kg^-1∙K^-1，水在0 ℃时的蒸发潜热。